Problema 1.3.3. Sea $B \subset \mathbb(C)^n$ un polidisco y sea
$\alpha \in \mathcal{A}^{p, q}(B)$ una d-forma cerrada con $p, q \ge 1$.
Muestre que existe una forma $\gamma\in \mathcal{A}^{p-1, q-1}(B)$ tal
que $\partial\overline{\partial}_\gamma = \alpha$.
Prueba
Como $\alpha$ es d-cerrada y $B$ es convexo, se sigue del lema de
d-Poincaré que existe un $\beta\in\mathcal{A}^{p+q-1}_{\mathbb{C}}(B)$
tal que $\alpha = \mathrm{d}\beta$. Descompongamos $\beta$ con respecto
a los bigrados, es decir:
\begin{equation*}
\beta = \beta^{0, p+q-1}+ \beta^{1, p+q-2} + \dotsb + \beta^{p+q-2, 2} +
\beta^{p+q-1, 0}
\end{equation*}
donde $\beta^{i, p+q-i-1}\in\mathcal{A}^{i, p+q-i-1}(B)$, para $i=0, 1,
\dotsc, p+q-1$.
Como $\mathrm{d}\beta = \alpha$, considerando los bigrados tenemos:
\begin{align*}
\overline{\partial}\beta^{0, p+q-1} & = 0\\
\partial\beta^{p+q-1, 0} & = 0\\
\partial\beta^{i, p+q-i-1} + \overline{\partial}\beta^{i+1, p+q-i-2} & =
0\\
\partial\beta^{p-1, q} + \overline{\partial}\beta^{p, q-1} & = \alpha
\end{align*}
para $i=0,\dotsc, p-2, p,\dotsc, p+q-2$. Por el lema de
$\overline{\partial}$-Poincaré existe un $\gamma_0\in\mathcal{A}^{0,
p+q-2}(B)$ tal que $\overline{\partial}\gamma_0 = \beta^{0, p+q-1}$.
Consideremos ahora $\partial\beta^{0, p+q-1} +
\overline{\partial}\beta^{1, p+q-2} = 0$, entonces tenemos:
\begin{equation*}
\overline{\partial}(\beta^{1, p+q-2} - \partial\gamma_0) = 0
\end{equation*}
Por lo tanto existe un $\gamma_1\in\mathcal{A}^{1, p+q-3}(B)$ tal que
$\beta^{1, p+q-2} = \partial\gamma_0 + \overline{\partial}\gamma_1$. Por
inducción tenemos similarmente que:
\begin{equation}\label{1}
\beta^{i, p+q-i-1} = \partial\gamma_{i-1} + \overline{\partial}\gamma_i,
\qquad i=0, 1, \dotsc, p-1
\end{equation}
donde $\gamma_i\in\mathcal{A}^{i, p+q-i-2}(B)$ y asumimos $\gamma_{-1} =
0$ por brevedad.
Por otro lado, comenzando con $\partial\beta^{p+q-1, 0}$ y usando el
lema de $\partial$-Poincaré, podemos probar que:
\begin{equation}\label{2}
\beta^{i, p+q-i-1} = \partial\gamma_i +
\overline{\partial}\gamma_{i+1}, \qquad i = p,\dotsc,p+q-1
\end{equation}
donde $\gamma_i\in\mathcal{A}^{i-1, p+q-i-1}(B)$ y asumimos
$\gamma_{p+q} = 0$ por brevedad.
De las ecuaciones \ref{1} y \ref{2} tenemos que $\gamma_{p-1},
\gamma_p\in\mathcal{A}^{p-1, q-1}(B)$ y además:
\begin{equation*}
\beta = \sum^{p+q-1}_{i=1, i\neq p-1, p}\mathrm{d}\gamma_i +
\overline{\partial}\gamma_{p-1} + \partial\gamma_p
\end{equation*}
Por lo tanto $\alpha = \mathrm{d}\beta =
\mathrm{d}(\overline{\partial}\gamma_{p-1} + \partial\gamma_p) =
\partial\overline{\partial}(\gamma_{p-1} - \gamma_p)$. Entonces es
suficiente tomar $\gamma = \gamma_{p-1} - \gamma_p$.
